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  第五章 惟一分解整环_理学_高等教育_教育专区。近世代数 杨子胥 pdf版教学课件

  第五章 惟一分解整环 §5.1 §5.2 §5.3 §5.4 相伴元和不可约元 唯一分解整环的定义 主理想整环 欧氏环 §5.1 相伴元和不可约元 一 整除,相伴,线 我们说,整环 K 的一个元 a 可以被 K 的元 b 整数, 假如在 K 里找得出元 c,使:a=bc 假如 a 能被 b 整除,我们说 b 是 a 的因子,并且用符号 ba 来表 示,否则 b ? a 来表示。 整除有下列常用的性质: (1) a b, a c ? a b + c (2) a b, b c ? a c 例 1 在 Z 中, 3 18, 而 3 ? 7. 在 Q[ x] 中, x ? 1 x 2 ? 1, 而 x ? 1 ? x 2 + 1. 例 2 在 Z [ x] 中, 证明: 2 + i 5, 2 + i ? 3 + i . 例 3 设 D 为整环, a, b ∈ D , 则 b a 当且仅当 (a) ? (b) . Note: 1. 环中的可逆元素称为单位。 2. 两个单位 ε 和 ε′的乘积 εε′也是一个单位,单位 ε 的逆 ε-1 也是一个单位。 3. ±1永远是 K 的单位。 4. 域上的非零元素均为单位。 5. 域 上的 多项式 环中 的全体 零次 多项式 是它 的单 位。 定义 对于 K 中的单位 ε, aε 叫做 a 的相伴元,也称为做 a 的 平凡因子,其余的 a 的因子,叫做真因子. K 中元素的相伴关系是一个等价关系。即 a, b 在 K 中相伴 ? a, b 互相整除。 例 4 因为整数环 Z 的单位仅有 1 与 -1, 故任一非零元 a 有 2 个相伴元: a 与 ?a . 例 5 Z [i ] 有 4 个单位, 1, -1, , . 任一非零元 a + bi (a, b ∈ Z ) 有 4 个相伴元: ± (a + bi ), ± (b ? ai ) . 例 6 设 a, b ∈ K . 证明: a ? b 当且仅当 ( a ) = (b) . 例7 求 Gauss 整环的所有单位以及整数 5 在 Z[i]中的所有线 ± i, ?2 ± i 而 5 的不相伴线i 。 二 不可约元素 定义 2 设 a ∈ K \ {0}, a 不是单位。如果 a 只有平凡 因子,则称 a 为环 K 的不可约元素;否则称为环 K 的 可约元素。 定理 1 环 K 中的不可约元素 p 与任何单位的乘积 永远是 K 中的不可约元素,即不可约元素的相伴元素 仍为不可约元素。 定理 2 a ∈ K \{0} ,则 a 有真因子的充分必要条件是,存 在 K 中的非单位元素 b, c ,使得 a = bc 。 推论 假定 a≠0,并且 a 有真因子,a=bc,那么 c 也是 a 的 线 我们说,一个整环 K 的一个元 a 在 K 里有唯一分解,假 如以下条件能被满足: (i) a = p1 pt , p1 , , pt 在K中不可约 ; (ii) 若同时 a = q1 qs , q1 , , qs 在K中不可约 那么 r = s ,且可把不可约元素的次序适当调换,使得 pi = qi ε i , ε i为K中单位(i = 1,… , t ) 。 则称 a 在 K 上可以惟一分解。 Note 环 K 中,零元素和单位不可以惟一分解。 问题:如何判断 K 中一个元素的惟一分解性呢?没有一 般的解决方案,对于特殊的环中的特殊元素可以作出判断。 例8 证明 9 在有单位元素的整环 Z [ 5i] = {a + b 5i a, b ∈ Z } . 三 素元素 环 K 中的不可约元素 p 与任何单位的乘积永远是 K 中的 不可约元素,即不可约元素的相伴元素仍为不可约元 素。 定义 整环 K 的一个元 p 叫做一个素元,假如 p 既不是 零元,也不是单位,并且 p 只有平凡因子。 定理 3 整环 K 中的素元素一定是不可约元素。 推论 素元素的相伴元素仍为素元素。 例子:P229-230 例 8 在 Z 中, 任一素数 p 既是素元又是不可 约元. 例 9 在 Z [ ?3] 中, 证明: 1 + ?3 是不可约元, 但不是素元. P230 习题 5.1 ,3,4 §5.2 唯一分解整环的定义 定义 1 一个整环 K 叫做一个唯一分解环,假如 K 的每个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。 整数环和域上的多项式环均为惟一分解整环,但 是 Z [ 5i] = {a + b 5i a, b ∈ Z } 不是惟一分解整环。 例 1 证明: 在 Z [ ?3] 中, 4 没有唯一分解. 素元素一定是不可约元素,但是不可约元素则未必 是素元素。 整数环和域上的多项式环来说,二者是一致的。 更一般的,新澳门金沙娱场有 定理 1 设 K 是任意一个唯一分解整环,则 p 为 K 的素元素当且仅当 p 为 K 的不可约元素。 推论 一个唯一分解环有以下性质: 若一个素元 p 能够整除 ab,那么 p 能够整除 a 或 b。 定理 2 具有以下性质的整环 K 一定是一个唯一分解环. (i)K 的每一个即不是零也不是单位的元 a 都可以分解成 不可约元素的乘积; (ii)K 的不可约元素均为 K 的素元素。 二 惟一分解整环中的最大公因子 整数环中的最大公因子推广: 定义 3 一个唯一分解环 K 中, c ∈ K ,新澳门金沙娱场如果 c 是每个元素 a1 , a2 ,…, an 的因子,则称 c 为 a1 , a2 ,…, an 的公因子。 若 d 为 a1 , a2 ,…, an 的公因子,且 a1 , a2 ,…, an 的任意一个公因子 c 均 为 d 的因子,则称 d 为 a1 , a2 ,…, an 的最大公因子。 定理 3 一个惟一分解环 K 的任意两个元 a 和 b,在 K 里一定有 最大公因子,a 和 b 的两个最大公因子 d 和 d′只能差一个单位因 子。 推论 一个唯一分解环 K 的 n 个元 a1 , a2 ,…, an 在 K 里一定有最 大公因子, a1 , a2 ,…, an 的两个最大公因子只能差一个单位因子。 例 2 证明: 在 Z [ ?3] 中, 2(1 + ?3) 与 4 无最高公因子. 作业 P235 习题 5.2 3, 4 §5.3 主理想整环 一 主理想整环的定义 定义 一个整环 K 叫做一个主理想整环,假如 K 的每一个理想 都是一个主理想。 Note 整数环和域上的多项式环均为主理想整环。但是 Z [ x ] 不 是主理想整环,因为其中的理想 2, x 不是主理想。 定理 1 Gauss 整环 Z [i ] 是主理想整环。 二 主要结论的证明 引理 1 假定 K 是一个主理想环,若在序列 a1 , a2 ,…, ai ,… (ai ∈ K ) 里每一个元均是前面一个元素的真因子,那么这个序列一定是一个有限 序列。 引理 2 假定 K 是一个主理想环,那么 K 的一个不可约元素 p 生成一 个极大理想。 定理 2 主理想环 K 是一个惟一分解整环。 作业 P239 习题 5.3 1,3 §5.4 欧氏环 一 欧氏环定义和例子 定义 一个有单位元素的整环 K 叫做一个欧氏环,假如: (i)有一个从 K 的非零元无所作成的集合到所有非负整数 集合的映射 ? 存在。 (ii)给定了 K 的一个不等于零的元 b,K 的任何元 a 都可 以写成 a = bq + r , r = 0或者? (r ) ? (b) 例 1 整数环是一个欧氏环。新澳门金沙娱场 其欧氏映射为: ? x) x , x ∈ Z . ( = 例 2 一个域 F 上的一元多项式环 F[x]是一个欧氏 环。 ( = 其欧氏映射为: ? f ( x)) ? ( f ( x)), f ( x) ∈ F [ x] . 二 主要结论 定理 任何欧氏环 K 一定是一个主理想环,因而一定是一个 惟一分解环。 逆命题不成立:主理想整环未必是欧氏环。 欧氏环 ? 主理想整环 ? 惟一分解环 ? 有单位元素的环 。 作业 P240-241,习题 5.4 1,2,3 §5.5* 惟一分解整环的多项式扩张 一 基本内容 定义 个推广。 惟一分解环 K 上的多项式环 K[x]就是 K 的一个扩张。 如果环 R 是环 S 的一个子环,则称 S 是环 R 的一 定义 2 多项式环 K[x]的一个元 f(x)叫做一个本原多项 式,假如 f(x)的系数的最大公因子是单位。 一般多项式理论可以推广到惟一分解环上的多项式环 中,例如带余除法、最大公因式等概念。 例 1 设 f ( x) = x 3 + x 2 + 1, g ( x) = x 2 + x + 1∈ Z [ x]2 , 求 u ( x), v( x) ∈ Z [ x]2 , 使得 ( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x) g ( x) 有结果: 引理 1 (Gauss 引理)两个本原多相式的乘积仍为本原 的。 设 F 是惟一分解环 K 的分式域。有结果: 引理 2 K[x]中两个本原多项式在 K[x]中相伴当且仅当在 F[x]中相伴。 定理 1 K[x]中本原多项式在 K[x]中可约当且仅当它在 F[x] 中可约。 定理 2 若是 K是惟一分解环,那么 K[x]也是惟一分解环。 推论 若 K 是惟一分解环,那么 K [ x1 , x2 环 , xn ] 也是惟一分解 作业 P264-265:习题 5.5 7,10

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