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  射影性质是射影变换的一种特征,指图形经过任何射影对应(变换)都不变的性质,例如,非调和比、二次曲线极点与极线的关系、一条代数曲线的类型或阶、同素性、结合性等都是射影性质,但平行性不是射影性质,如中心投影是射影对应,而中心投影可以将两条平行直线投影成两条相交直线]

  )法国数学家、力学家庞斯列(Jean Victor Poncelet,1788-1867)著。1822年发表。这是第一本完全致力于射影几何学的著作。它标志着现代射影几何学的开始。庞斯列第一个充分认识到射影几何学是具有独特方法和目标的新的数学分支,从而在该著作中对这门学科作了系统处理,对十九世纪数学发展产生了重大影响。

  庞斯列曾是法国大数学家蒙日和卡诺(L.N.M.Carnot)的学生,在巴黎综合工科学校时听过他们的几何学讲座,是蒙日和卡诺引导了综合几何学研究的复兴。1812年庞斯列跟随拿破仑的军队远征俄国,不久便被俘囚于萨拉托夫的监狱中。在狱中,他不借助于任何参考材料。着手回忆并重新推导了从蒙日等人那里学来的纯粹与解析几何知识,之后便开始创造出新的结果。这些发现奠定了他关于射影几何学工作的基础。1814年回国后,他继续了他的研究。js9905com金沙网站1820年他向巴黎科学院递交了题为“论圆锥曲线的射影性质”的论文,其中包含了他的新几何学思想。庞斯列想以圆锥曲线为例表明几何学的语言和概念可以通过系统地使用无穷远元素和虚元素而得到推广。该论文成为1822年出版的《论图形的射影性质》一书中的一部分。

  在《论图形的射影性质》中,庞斯列研究了几何图形在投影与截影下保持不变的性质,即图形的射影性质,取得了丰富的成果,奠定了现代射影几何学的基础。他通过系统地引入无穷远元素和虚元,构成了复射影几何所用的空间。他像德扎格、帕斯卡等人一样采用了中心投影,即从一个点投影,并把它提高成为研究几何问题的一种方法。在他的工作中,有三个观念是主导性的。第一个是透射的图形,两个图形是透射的,如果一个能够从另一个经过一次投射与截影或一串投射与截影得出。第二个主导观念就是连续性原理。在该书中他写道:“如果一个图形从另一个图形经过连续的变化得出,而且后者与前者同样地一般,那么马上可以断定,第一个图形的任何性质第二个图形也具有。”对此他在本书中作了大胆的应用,证明了许多定理,并用它来讨论虚图形。至于这一原理的真实性,庞斯列承认能够从代数上证明这原理,但他坚持认为它并不依赖于这样一个证明。他的第三个核心观念是关于圆锥曲线的极点和极线的概念,他给出了从极点到极线和从极线到极点的一般表述,并用之作为建立许多定理的方法。至于对偶原理这一射影几何学的重要原理,庞斯列在研究圆锥曲线的配极的过程中已经充分确定,并且认为配极关系是这一原理成立的重要原因。此外,庞斯列不仅使用了中心射影,也广泛地利用了其它类型的变换(如双有理变换等),取得许多结果。庞斯列的功绩以往是被低估了,js9905com金沙网站他的著作所显示的射影几何和度量几何的区别预示了现代结构概念的出现。他的几何工作是迈向现代几何的重要的一步。

  《论图形的射影性质》于1865-1866年由庞斯列本人出版了第二版,含两卷。其中第一卷是该书第一版的重印,但添加了注释。第二卷收集了庞斯列1822年后的几何学论文。

  在引进无穷远元素后,将一直线上的影消点与另一直线上的无穷远点建立点的对应,如图1,直线

  ’的点之间的一一对应,这种通过中心投影所建立的两直线点之间的一一对应叫做

  ;同样,在引入无穷远元素后,也可以通过中心投影建立两平面的点之间的一一对应,叫做

  我们将图形经过中心投影后不变的性质(量)叫做图形的射影性质(射影不变量) 。

  不难看出,同素性、结合性都是射影性质,又如二次曲线经过中心投影的象还是二次曲线,所以二次曲线这一概念可以说是射影概念。应该注意,如果图形的性质经过某些中心投影后不变,而不是在任何中心投影下都不变,这种性质并不是图形的射影性质。例如一个圆的中心投影的象可能是圆,但不能保证圆的任何中心投影的象都一定是圆,因此曲线为圆这一性质不是射影性质。由于我们可以将二相交直线投影成二平行直线,所以二直线的平行性也不是射影性质。另外,重要的仿射不变量单比也不是射影不变量,对此可由以下例题说明:

  一平面内通过一点的所有直线的集合叫做线束,此点叫做线束的中心(或顶点),以

  点列与线束的元素分别为点与直线,显然点列与线束都是射影概念,点列与线束经中心投影后的象还分别为点列与线]

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