其 轨 迹 为 一 条 无 穷js9905com金沙网站 远 直 线

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  2.1 射影直线和射影平面_理学_高等教育_教育专区。高等几何 射影直线和射影平面

  第二章 射影平面 本章地位 学习平面射影几何的基础 在欧氏几何的基础上,本章添加无 穷远元素的方法来定义射影平面, 引入齐次坐标,学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考,牢固掌握基本概念, 排除传统习惯干扰 本章内容 附带一个重要定理 学习要求 主要内容: 主要内容: 中心投影 无穷远元素 齐次点坐标 齐次坐标 齐次线坐标 附带内容: 附带内容: Desargues定理 复元素 对偶原则 第一节 射影直线. 4 中心射影 无穷远元素 一维、 一维、二维射影空间 图形的射影性质 § 2.1.1 中心投影 一、平面上两直线 设 直 线 l 和 l ′ 为平 面 上两 条 不同 的 直线 , O不属 定义 点 于l和l ′, P是l上的一点, 连接ΟP交l ′于点P′, 称点P′是点P 从O投射到l ′的中心投影。 记 ? :l → l 点O 投射中心 (O ? l ∪ l ) OP 投射线; l 上的点P在l上的像 P l 上的点P 在l上的像 O l A P B′ B X P′ l′ A′ 因此 ,φ–1: l → l 是 l 到 l 的中心射影 中心射影 三个特殊的点: 三个特殊的点: l X=l×l 自对应点(不变点) OU与l 不相交, U 为l上的 影消点 V′ O U P X P′ l′ OV 与l不相交, V 为l上的影消点 影消点 影消点的存在,导致两直线间的中心射影不是一个双射 双射 (一一对应 。 一一对应)。 一一对应 二、平面到平面的中心射影 定义2.2 定义 设 π 和 π ′为 空 间 两 个 不 同 的 平 面 ,点O不属于 π 和π ′, P是π 上的一点,连接ΟP交π ′于点P′, 称点P′是点P 从O投射到π ′的中心投影。 O 记 ? :π → π O 投射中心 A P P′ (O ? π ∪ π ) (射心) OP 投射线; π′ a M x π a′ A′ π 上的点P 在π上的像 P π 上的点P在π上的像 ? 因此 , ?1 : π → π 是π‘ 到π的中心射影 三条特殊的直线: 三条特殊的直线: x = π × π 自对应直线(不变直线) u ∈ π , ?U ∈ u , OU // π , O u U u为由影消点 影消点构成的影消线 影消点 影消线;, OV // π , v 为由影消点 影消点构成 影消点 的影消线 影消线 v′ V′ a P P′ π′ a′ x π 注:影消线的存在,js9905com金沙网站导致两平面间的中心射影不是一个 双射(一一对应 。 双射(一一对应)。 即 ? : l → l 和? : π → π 均不是双射(一一对应)。 中心射影不是双射的原因:存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因:平行的直线没有交点, 平行的平面没有交线。 如何使得中心射影成为一个双射(一一对应)? 给平行线添加交点! 例:求一个中心射影将任意一个三角形射影成等腰三角形。 解:设 ABC为平面π 上的任意一个三角形, 过BC边任作一个平面π ′与π 不同, O π 在π ′内作BC的垂直平分线m, 在m上任取一个点A′(不在BC上), 连接AA′,在直线AA′上 取定一个点O, 则以O为射心,OA为投射 线的中心射影必将 ABC射影 为平面π ′上的等腰三角形A′BC. B A M C A′ m π′ § 2.1.2 无穷远元素 目标: 途径: 要求: 改造空间,使得中心射影成为双射 给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系 两条相异直线确定唯一一个点(交点) 点与直线的 关联关系 两个相异点确定唯一一条直线(连线) 一、无穷远点 约定一: 约定一: (1) 平面内在每一条直线上添加唯一一个点, 此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点 理想点 无穷远点(理想点 无穷远点 理想点), 记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同. 为区别起见,称平面上原有的点为有穷远点 普通点 有穷远点(普通点 有穷远点 普通点), 记作P 注:1)无穷远点实际上是二维空间中平行直线)由于平面内有无数多组平行线,因此一个平面内有无数 多个无穷远点。 例:一条直线和它的平行平面相交于一个无穷远点。 证明: 如图, 设 l // α , 在 α 上 任 取 一 点 A, 则 A与 l 确 定 平 面 β , Q α 与 β 有 公 共 交 点 A, ∴ 它 们 必 有 公 共 直 线 m , 且 l // m . 由 约 定 一 , l 与 m 有 唯 一 公 共 无 穷 远 点. 又 由 于 A 是 α 上 任一 点 , 所 以 这 个 公 共 的 无 穷 远 点 即 为 l与 α 的 交 点 。 l β α A m 二、无穷远直线 约定二: 约定二: 按约定一的(1), (2)添加无穷远点之后,平面上全 体无穷远点构成一条直线,称为无穷远直线 理想直线 无穷远直线(理想直线 无穷远直线 理想直线), 记作l∞ 区别起见,称平面上原有的直线为有穷远直线 通常直线 有穷远直线(通常直线 有穷远直线 通常直线),l 注: 无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线 即 空间中任意一组平行平面交于一条无穷远直线。 推导:在 组 中 的 一 个 平 面 内 任 取 一 条 直 线 l , 设 l 上 的 无 穷 远点 为 P∞ , 过l 作一个平面与组中其它平面必相交于 l α1 P∞ 一 组 平行 线 , 此 组 平 行 线 有 公 共 的 无 穷 远点 P∞ , 于 是 P∞ 必 在此 组平 行 平面的每一个平面上. α2 α3 由于所取直线l 的任意性, 所以此组平行平面必有无数多个 公 共 的 无 穷 远 点 ,其 轨 迹 为 一 条 无 穷 远 直 线 , 即 一组平行平面必相交于一条无穷远直线。 总结: 在平面上添加无穷远元素之后,js9905com金沙网站没有破坏点与直 总结: 线的关联关系,同时使得中心射影成为双射(一一对应). 理解约定一 1、对于平面上每一方向,有唯一无穷远点. 平行的直线交 于同一无穷远点;交于同一无穷远点的直线、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数=过一个通常点的直线、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而,对于通常直线: 平面 上任 二直 线总 相交 平 行 两直线 不平行 交于唯一 无穷远点 有穷远点 5、空间中每一组平行直线、任一直线与其平行平面交于唯一无穷远点. 理解约定二 1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为 无穷远点;平面上任何无穷远点均在无穷远直线、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直 线、每一平面上有且仅有一条无穷远直线、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线; 过同一条无穷远直线的平面相互平行。 因而,对于通常平面: 平 行 两平面 不平行 交于唯一 有穷远直线 无穷远直线 空间中任 二平面必 相交于唯 一直线 射影直线和射影平面 一、射影直线和射影平面的定义 定义2.3 添加无穷远点后的欧氏直线统称为仿射直线 定义 仿射直线; 仿射直线 在仿射直线上不区分有穷远点和无穷远点,则这条直线称 为射影直线 拓广直线). 射影直线(拓广直线 射影直线 拓广直线) 添加无穷远直线后的平面称为仿射平面 仿射平面; 仿射平面 若在仿射平面上不区分有穷远线和无穷远线,则这个平面 称为射影平面(拓广平面) 射影平面(拓广平面) 射影平面 定理2.1 在拓广平面上, 点与直线的关联关系 关联关系成立: 定理 关联关系 (1) 两个相异的拓广点确定唯一一条拓广直线) 两条相异的拓广直线确定唯一一个拓广点. 二、射影直线、射影平面的基本性质及模型 射影直线、射影直线(拓广直线 、射影直线 拓广直线) 拓广直线的封闭性 欧氏直线:向两个方向无限伸展 拓广直线:向两方前进最终都到达同 一个无穷远点 P∞ (2) 射影直线在欧氏平面的模型为圆 注: 通常点和无穷远点统称为拓广点 拓广点;添加无穷远点之 拓广点 后的直线和无穷远直线统称为拓广直线。 拓广直线) 拓广直线上点的分离关系 欧氏直线:一点区分直线为两个部分。 拓广直线:一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线:两点确定直线上的一条线段。 拓广直线:不同的两点把直线分成两条线段,其中一条含 无穷远点,另一条不含无穷远点。 点偶A,B分离点偶C,D 点偶A,B不分离点偶C,D 2、射影平面(拓广平面 、射影平面 拓广平面 拓广平面) (1) 拓广平面的封闭性 从两个方面理解: (i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域 任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域 两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域 在拓广平面上,可以证明: I,II为同一区域 III,IV为同一区域 (2) 拓广平面的拓扑模型 注: 默比乌斯带( M?bius带)是射影平面的一部分。 默比乌斯带的作法: 默比乌斯带的作法: 如 图 , 把 长 方 形 带 ABA′B ′扭 转 , 使 A与 A′ 粘 合 , B与 B ′ 粘 合 , 这 样 所 得 的 单 侧 曲 面 为 默 比 乌 斯 带 ,其 边 界 为 一 条 封 闭 曲 线 。 A B′ A′ B M?bius带 三、射影基本形 1、一维基本形 (1) 点列 同一直线; 线束 平面上过同一点的直线的集合 记号 l(A,B,C,…) 或 l(P) 底 元素 记号 L(a,b,c,…) 或 L(p) 线) 点场 同一平面上点的集合 (2) 线场 同一平面上直线的集合 π称为点场的底, 底 元素. 其上的点称为元素 元素 π称为线场的底, 底 其上的直线称为元素 元素. 元素 3、一对重要的基本图形 三点形 不共线三点及其两两连线 构成的图形 三线形 不共点三直线及其两两交点 构成的图形 顶点:A, B, C 边:BC, CA, AB 记号: 记号:三点形ABC 边:a, b, c 顶点:b×c, c×a, a×b 记号: 记号:三线形abc 显然,射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变 § 2.1.4 图形的射影性质 一、透视对应 定义2.4: 定义 :引进无穷远元素以后,便可以通过中心射影建立 直线上点之间的一一对应,这种一一对应称为透视对应 透视对应。 透视对应 同样,以通过中心射影建立二平面之间点的一一对应, 也称为透视对应 透视对应。 透视对应 二、射影不变性和射影不变量 定义2.5: 定义 : 经过一切中心射影(透视对应)后图形所具有的不变 性和不变量,叫做图形的射影不变性和射影不变量 射影不变性和射影不变量。 射影不变性和射影不变量 注: 1)同素件,结合性都是射影不变性。 2)圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线,所 以我们说圆锥曲线) 圆经过某些中心射影后不变,但经过另一些中心 射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆,因此圆这一图 形不具有射影性质。 例1:相交于影消线的二直线必射影成平行直线。 证明: 设平面上二直线相交于影消线m上一点P, ′ 经中心投影后, l1与l2的对应直线, 由于射影对应保持结合性不变, π P ′ 所以影消点P 的对应点为l1′与l2的交点, O ′ 即 P∞点。 ′ 由于l1′与l2相交于无穷远点, ′ 所以l1′ // l2 l1 l2 m ′ l2 l1′ ′ P∞ π′ 例2:单比不是射影不变量。 反例: 设三直线a、b、c 交于O点,c 平分∠(a, b), 直线l与l ′分别交三直线于A, B, C与A′, B′, C ′, 并使 OA OB 且 OA′ OB′ , AC OA 于是, ( ABC ) = = , BC OB O A′C ′ OA′ = ( A′B′C ′) = , B′C ′ OB′ 所以, ( ABC ) 1, ( A′B′C ′) 1 即, ( ABC ) ≠ ( A′B′C ′) A C C′ B l A′ B′ l ′ b a c 因此单比不是射影不变量。 注: 1) 透视对应不保留平行性.(由例1) 2) 透视对应不保留两点距离不变。(由例2) 3)透视对应不保留二直线) 图形的射影性质 射影不变性 射影性质 射影不变量 图形在一切中心射影下保持 不变的性质和数量 目前已知的射影性质: 目前已知的射影性质: 射影不变性: 点与直线的关联关系(结合性);同素性;…… 结合性:某点在某直线上;某直线通过某点的事实保持不变 同素性:点 点;直线 直线 射影不变量: 有待探索. 目前所知几何量均不是射影不变的

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