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  * § 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 定理2.11 完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离. 定理2.11 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离. 如图, 经过三个对边点X,Y,Z各有一个调和直线组, 比如X 如图, 在三条对顶线x, y, z上各有一个调和点组, 比如x 此二定理说明:上述两图中各有三个调和元素组 § 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 证明定理2.11 用综合法. 只要证明 以直线AB截此四直线,得 只要证明(AB, PZ)=–1. 以点Y分别与上述等式两边的四点相连,据定理2.6可得 也就是 注意到A, B, P, Z四点互异,必有(AB, PZ)=–1. 证毕. 再以直线CD截此四直线 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 推论2.8 在完全四点形的对边三点形的每条边上, 有一个调和点组, 其中一对为对边点, 另一对为该边与第三组对边的交点. 推论2.8 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组, 其中一对为对顶线,另一对为该顶点与第三对对顶的连线. 比如经过顶点T, 有 此二推论说明:上述两图中又各有三个调和元素组 比如在边t上, 有 § 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 推论2.9 在完全四点形的每条边上有一个调和点组, 其中一对为顶点, 另一对中一个为对边点, 一个为该边与对边三点形的边的交点. 推论2.9 通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组, 其中一对为边,另一对中, 一条为对顶线, 一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线. 比如经过顶点a×b, 有 此二推论说明:上述两图中又各有六个调和元素组 比如在边AB上, 有 § 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例1 已知直线.8, 构造一个完全四点形, 以l为其对边三点形的一边, P1, P2是对边点, 使第三对对边中, 一条过P3, 则另一条与l的交点即为P4. 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1, AP2. (2). 过P3作直线). 连AC交l于P4为所求. 证明: (略)据推论2.8(或2.9). 注1 上述实际上也是利用推论2.9作图. 注2 本例引申 § 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例1 已知直线、给定三点如图,如何作图? 2、给定共点三直线如图,求作第四调和直线、给定共点三直线如图,求作第四调和直线 ?存在一个完全四点形, 以P1, P2为两个对边点, 并使P3, P4在另一对对边上. 注4 注3的对偶命题. 由上述注3, 4,你想到了什么? § 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例2 证明:梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线、几何证明题 证明:如图, ABCD为梯形, AD//BC, E, F分别为两腰和对角线的交点. EF交AD, BC于P,Q. 只要证明P, Q分别是AD, BC的中点. 考察完全四点形EAFD. 设AD×BC=G∞. 由推论2.8, 有(BC, QG∞)=–1, 再据推论2.3, Q为BC的中点. 据推论2.9, (AD, PG∞)=–1, 所以P为AD的中点. 本例引申 两个作图题: 1、js9905com金沙网站已知一线段的中点, 求作该线、已知一线段及其一条平行线, 求作该线 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例3 (P.59, Ex. 3)设A, B, C为完全四线形的三个共线的顶点, 点偶A, B与M, C调和共轭. 求证:通过A, B的对顶线的交点在M与C的对顶点的连线、几何证明题 证明:如图,设C的对顶为D, 通过A, B于的对顶线的交点为P, DP交AB于M. 用同一法证明M=M. 由假设据推论2.9有, (AB, MC)=–1. 由题设有, (AB, MC)=–1. 所以, M=M , 即P在MD上. § 2.3 一维基本形的射影对应 一、透视对应(中心射影) 定义 以下三种对应称为一维基本形的透视对应 (1). 点列?线束. 对应元素是关联的 (2). 点列?点列. 对应点连线). 线束?线束. 对应直线交点共线 (s) 透视中心 透视轴 注 (1). 透视对应是两个一维基本形之间的一个双射, 保持任意四对对应元素的交比不变. (2). 连续两次透视对应的结果显然不一定仍是透视对应 . (S) 课件作者:南京师大数科院周兴和 § 2.3 一维基本形的射影对应 一、透视对应(中心射影) 二、一维射影对应的综合法定义 1. Poncelet定义 设[π], [π]为两个一维基本形. 若存在n个一维基本形[πi] (i=1,2,…,n), 使得 … 则称由此决定的[π]到[π]的对应为一个射影对应, 记作 注1. 显然 注2. 为一个保交比的双射. 注3. 有限多个射影对应的积仍然是一个射影对应. 2. Steiner定义 如果两个一维基本形之间的一个对应 满足 (1). φ为一个双射; (2). φ使得任意四对对应元素的交比相等, 则称φ为[π]到[π]的一个射影对应, 记作 所以透视对应是射影对应的特例. § 2.3 一维基本形的射影对应 一、透视对应(中心射影) 二、一维射影对应的综合法定义 定理2.12 Poncelet定义?Steiner定义. 证明. “=”. 显然. “=”. 用同一法证明点列?点列. 设φ: l(P)→l(P)为满足Steiner定义的射影对应. 只要证φ可以表示为有限次透视对应的积. 设P0, P1, P2为l(P)上相异三点, P为l(P)上任意一点, 且 则有 连P0P1, P0P2; P0P1, P0P2. 设P0P1×P0P1=Q1, P0P2×P0P2=Q2. 连 Q1Q2=m. 连P0P交m于Q, 连P0Q交l于P, 设P0P0交m于Q0, 则 (P0) (P0) 据Poncelet定义,有

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